Question

12、已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點E，過點C作直線FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長線于點D．
（1）求證：FD是⊙O的切線；
（2）設OC與BE相交于點G，若OG=3，求⊙O半徑的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證明FD是⊙O的切線，只需證明∠FCO=90°；
（2）連接CB．根據(jù)等腰三角形AOC和等腰三角形OBC的兩腰相等、底邊上的中線與垂線重合的性質(zhì)推知AE=EC，OE∥CB；然后由線段截平行線成比例知AO：AB=OE：CB=1：2，由平行線的性質(zhì)可以證明∠COE=∠OCB，∠CBE=∠BEO，由相似三角形的判定定理AA可以判定△EGO∽△BGC，相似三角形的對應邊成比例，所以有OG：GC=OE：BC=1：2，從而求得半徑OC=9．

解答：解：（1）證明：連接OC．∵OA=OC
∴∠A=∠ACO（3分）
∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°（5分）
∴∠FCO=90°
∴FD是⊙O的切線（7分）

（2）連接CB．
∵AO=OB，OE⊥AC
∴AE=EC，OE∥CB（3分）
AO：AB=OE：CB=1：2，∠COE=∠OCB，∠CBE=∠BEO，
∴△EGO∽△BGC（5分）
OG：GC=OE：BC=1：2
∴CG=6
半徑OC=9（7分）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)．圓心到一條直線的距離等于該圓的半徑，則該直線就是一條切線．