Question

（北師大版）某公司以每噸200元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種礦石原料300噸，用于生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品或1噸乙產(chǎn)品所需該礦石和煤原料的噸數(shù)如下表：
煤的價(jià)格為400元/噸．生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品除原料費(fèi)用外，還需其它費(fèi)用400元，甲產(chǎn)品每噸售價(jià)4600元；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品除原料費(fèi)用外，還需其它費(fèi)用500元，乙產(chǎn)品每噸售價(jià)5500元．現(xiàn)將該礦石原料全部用完．設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品m噸，公司獲得的總利潤(rùn)為y元．
（1）寫出m與x之間的關(guān)系式；
（2）寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量的范圍）；
（3）若用煤不超過(guò)200噸，生產(chǎn)甲產(chǎn)品多少噸時(shí)，公司獲得的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

產(chǎn)品 資源	甲	乙
礦石（t）	10	4
煤（t）	4	8

Answer 1

分析：（1）∵生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，則用礦石原料10x噸．∴生產(chǎn)乙產(chǎn)品用礦石原料為（300-10x）噸，由此得出m=

300-10x

4

．
（2）先求出生產(chǎn)1噸甲、乙兩種產(chǎn)品各獲利多少，然后可求出獲得的總利潤(rùn)．
（3）由于總利潤(rùn)y是x的一次函數(shù)，先求出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，求得最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）m與x之間的關(guān)系式為：m=

300-10x

4

=75-2.5x．

（2）生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品獲利：4600-（10×200+4×400+400）=600；
生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品獲利：5500-（4×200+8×400+500）=1000．
y與x的函數(shù)表達(dá)式為：y=600x+

300-10x

4

×1000=-1900x+75000；

（3）根據(jù)題意列出不等式

4x+8× 300-10x 4 ≤200 10x≤300

解得30≥x≥25．
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為：y═-1900x+75000，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品25噸時(shí)，公司獲得的總利潤(rùn)最大．
y最大=-1900×25+75000=27500（元）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查用函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．解答一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義．