Question

（2012•開平區(qū)一模）如圖，在一個內(nèi)角為60°的菱形ABCD中，邊長為4，將它繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到菱形A′B′C′D′，則陰影部分的周長為

16（

3

-1）

．

Answer 1

分析：由菱形的性質(zhì)，可求得OA與OD的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得OA′與OB′的長，又可證得AB′=B′F=FD=A′D，即可求得DF=B′F的長，繼而求得答案．

解答：解：設(shè)AB與A′B′交于F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AD=A′B′=4，∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠B′A′O=30°，
∴OD=OB′=2，AO=A′O=2

3

，
∴AB′=AO-B′O=2

3

-2，
∵∠DAC=30°，∠A′B′C=60°
∴∠DAC=∠AFB′=30°，
∴AB′=B′F=FD=A′D，
∴B′F=FD=2

3

-2，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得陰影部分為各邊長相等的八邊形，
∴旋轉(zhuǎn)前后兩菱形重疊部分多邊形的周長是：16（

3

-1）．
故答案為：16（

3

-1）．

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．