Question

（2013•沈陽(yáng)模擬）如圖，拋物線y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得四邊形AEBC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判四邊形AEBC的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別令x=0以及y=0求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）依題意得出BC∥AE，又已知A、B、C的坐標(biāo)易求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，又因?yàn)樗倪呅蜛EBC是平行四邊形且∠ACB=90°可得四邊形AEBC是矩形．
（3）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D與直線BC交于點(diǎn)P．則可得點(diǎn)P是使△PAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，然后求出直線A′D，直線BC的函數(shù)解析式聯(lián)立方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

，
令x=0，得y=

3

，
令y=0，
即-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

=0，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（1，0），C（0，

3

）；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵C（0，

3

），
∴EF=

3

，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-

3

），
四邊形AEBC是矩形．
理由：四邊形AEBC是平行四邊形，且∠ACB=90°，

（3）存在．
D（-1，

4 3

3

）
如圖2，作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D與直線BC交于點(diǎn)P．
則點(diǎn)P是使△PAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)．
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=

3

，
∴A′F=2

3

，
∴求得A′（3，2

3

）
過(guò)A′、D的直線y=

3

6

x+

3 3

2

，
過(guò)B、C的直線y=-

3

x+

3

，
將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得出：

y= 3 6 x+ 3 3 2 y=- 3 x+ 3

，
解得：

x=- 3 7 y= 10 3 7

，
故兩直線的交點(diǎn)P（-

3

7

，

10 3

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式以及利用軸對(duì)稱求線段最小值，利用軸對(duì)稱得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．