Question

將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開（如圖1），得到兩張三角形紙片△ABC、△DEF（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為6cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，且點(diǎn)A、C、E、F在同一條直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．△ABC保持不動(dòng)，OB為△ABC的中線．現(xiàn)對(duì)△DEF紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解決．
（1）將圖3中的△DEF沿CA向右平移，直到兩個(gè)三角形完全重合為止．設(shè)平移距離CE為x（即CE的長(zhǎng)），求平移過程中，△DEF與△BOC重疊部分的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（2）△DEF平移到E與O重合時(shí)（如圖4），將△DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中△DEF的斜邊EF交△ABC的BC邊于G，求點(diǎn)C、O、G構(gòu)成等腰三角形時(shí)，△OCG的面積；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，△DEF的邊EF、DE分別交線段BC于點(diǎn)G、H（不與端點(diǎn)重合）．求旋轉(zhuǎn)角∠COG為多少度時(shí)，線段BH、GH、CG之間滿足GH²+BH²=CG²，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△DEF與△BOC重疊部分的面積S為三角形與四邊形時(shí)分別得出S與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（2）利用△OCG的面積等于△COB面積，進(jìn)而得出與△ABC的關(guān)系求出即可；
（3）利用全等三角形的判定得出△COG≌△MOG，利用勾股定理逆定理得出即可．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤3時(shí)如圖1所示：
∵DE∥AB，∠ABC=90°，
∴∠CME=90°，
在Rt△CME中，∠MCE=30°，
CE=x，
則EM=

1

2

x，CM=

3

2

x，
∴S△CME=

1

2

•EM•CM=

1

2

×

1

2

x×

3

2

x=

3

8

x2，
當(dāng)3＜x≤6時(shí)如圖2所示，
∵DE∥AB，∠BAC=60°，
∴∠DEC=60°，
又∵在Rt△ABC中，BO為斜邊的中線，
∴BO=AO，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴△OME為正△，
∴S四邊形CNMO=S△CNE-S△OME=

3

8

x2-

3

4

(x-3)2=-

3

8

x2+

3 3

2

x-

9

4

3

，
綜上S=

3 8 x2(0＜x≤3) - 3 8 x2+ 3 3 2 x- 9 4 3 (3＜x≤6)

（2）若CG=CO=3cm（如圖3所示），過G點(diǎn)作GH⊥AC于H
在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=

1

2

CG=

3

2

cm，
∴S_△CGO=

1

2

CO×GH=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

cm²，
若GC=GO（如圖4所示），過G點(diǎn)作GH⊥CO于H，
∴CH=HO=

1

2

CO=

3

2

cm，

在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=

3

2

cm，
∴S△CGO=

1

2

•CO•GH=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

cm²，
若OG=CO=3cm（如圖5所示），
在Rt△ABC中，BO為斜邊的中線，BO=CO，
則此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)G重合，
∴S△CGO=S△COB=

1

2

S△ABC，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，
∴AB=3cm，BC=3

3

cm，
S△CGO=S△COB=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

•AB•BC=

1

2

×

1

2

×3×3

3

=

9 3

4

cm²；

（3）解：旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，即∠COG=45°滿足GH²+BH²=CG²．
理由如下：
過H作MH⊥CB于H，使得MH=BH，連接GM、OM．
∵BO是△ABC的中線，且∠ABC=90°，
∴OC=OB，
∴∠C=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠COG=45°，∠FOD=60°，
∴∠BOD=15°，
∵∠CBO=30°，
∴∠CHO=45°，
∴∠BHO=180°-45°=135°，
∴∠MHO=∠CHO+∠MHC=45°+90°=135°，
∴△BHO≌△MHO（SAS），
∴MO=BO，
∴∠BOD=∠MOH=15°，
∴∠MOG=∠DOF-∠MOD=60°-15°=45°，
∴∠MOG=∠COG=45°，
∴△COG≌△MOG（SAS），
∴CG=MG，
在Rt△MHG中，MH²+GH²=GM²，
∴BH²+GH²=CG²，

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定以及勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識(shí)，題目中運(yùn)用了分類討論思想這是數(shù)學(xué)中重要思想同學(xué)們應(yīng)掌握不要漏解．