Question

如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=x²-2mx與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過(guò)點(diǎn)P（m+1，

1

2

）作直線PH⊥y軸于點(diǎn)H，直線AP交y軸于點(diǎn)C．（點(diǎn)C不與點(diǎn)H重合）
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及CO的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，問(wèn)m為何值時(shí)CO=

3

2

？
（3）是否存在m，使CO=2.5HC？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把m=2，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，進(jìn)而求出CO的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于m的比例式，即可求出m的值；
（3）存在，本題要分：當(dāng)m＞1時(shí)；當(dāng)0＜m＜1時(shí)；當(dāng)-1＜m＜0時(shí)；當(dāng)m＜-1時(shí)；四種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，y=x²-4x，
令y=0，解得x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0）
∵HP∥OA，
∴△CHP∽△COA，
∴

HP

OA

=

CH

CO

∵HP=m+1=3，OA=4，OH=

1

2

•
∴CO=2；

（2）HP=m+1，OA=2m，CO=

3

2

，CH=1•
則

m+1

2m

=

1

1.5

，
解得m=3；

（3）①當(dāng)m＞1時(shí)（如圖1），

∵

HP

OA

=

CH

CO

，HP=m+1，OA=2m，CO=2.5HC，
∴

m+1

2m

=

1

2.5

，
∴m=-5（舍去）
②當(dāng)0＜m＜1時(shí)（如圖2），

∵CO＜HC，
又∵CO=2.5HC，
∴CH＜0，
∵CH＞0，
∴不存在m的值使CO=2.5HC．
③當(dāng)-1＜m＜0時(shí)（如圖3），

∵

HP

OA

=

CH

CO

，HP=m+1，OA=-2m，CO=2.5HC，
∴

m+1

-2m

=

1

2.5

，
∴m=-

5

9

，
∵CO=2.5HC，CO+HC=

1

2

，
∴HC=

1

7

，CO=

5

14

，
∴C(0，

5

14

)；
④當(dāng)m＜-1時(shí)（如圖4），

∵

HP

OA

=

CH

CO

，HP=-m-1，OA=-2m，CO=2.5HC，
∴

-m-1

-2m

=

1

2.5

，
∴m=-5，
∵CO=2.5HC，CO-HC=

1

2

，
∴HC=

1

3

，CO=

5

6

，
∴C(0，

5

6

)
綜上所述當(dāng)m=-

5

9

時(shí)，點(diǎn)C(0，

5

14

)；當(dāng)m=-5時(shí)，點(diǎn)C(0，

5

6

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)、需注意的是（3）題在不確C點(diǎn)的情況下需要分類討論，以免漏解．題目的綜合性強(qiáng)，難度也很大，有利于提高學(xué)生的綜合解題能力，是一道不錯(cuò)的題目．