Question

（2012•新疆）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知△AOC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，0），C（0，2）．

（1）請(qǐng)你以AC的中點(diǎn)為對(duì)稱中心，畫(huà)出△AOC的中心對(duì)稱圖形△ABC，此圖與原圖組成的四邊形OABC的形狀是

正方形

，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，已知D（-

1

2

，0），過(guò)A，C，D的拋物線與（1）所得的四邊形OABC的邊BC交于點(diǎn)E，求拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在問(wèn)題（2）的圖形中，一動(dòng)點(diǎn)P由拋物線上的點(diǎn)A開(kāi)始，沿四邊形OABC的邊從A-B-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接OP交AC于N，若P運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x，試問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AON為等腰三角形（只寫(xiě)出判斷的條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果）？

Answer 1

分析：（1）按照中心對(duì)稱圖形的定義作圖即可，易知四邊形OABC為正方形；
（2）已知A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；由直線BC：y=2，代入拋物線解析式解方程求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△AON為等腰三角形的情形有三種，注意不要漏解．充分利用正方形、等腰三角形的性質(zhì)，容易求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程x．

解答：解：（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為E，連接OE并延長(zhǎng)至B，使得BE=OE；連接AC，AB，則△ABC為所求作的△AOC的中心對(duì)稱圖形．
∵A（2，0），C（0，2），∴OA=OC，
∵△ABC是△AOC的中心對(duì)稱圖形，∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=AB=BC=OC，
∵∠COA=90°，
∴四邊形OABC是正方形；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、D的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（-

1

2

，0），
∴

4a+2b+c=0 c=2 1 4 a- 1 2 b+c=0

，解得a=-2，b=3，c=2，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+3x+2；
由（1）知，四邊形OABC為正方形，∴B（2，2），
∴直線BC的解析式為y=2，
令y=-2x²+3x+2=2，解得x₁=0，x₂=

3

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

3

2

，2）．

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有三種情形使得△AON為等腰三角形，
如圖②所示：
①△AON₁．此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)N₁是正方形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)，且△AON₁為等腰直角三角形，
則此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程為：x=AB=2；
②△AON₂．此時(shí)點(diǎn)P位于B-C段上．
∵正方形OABC，OA=2，∴AC=2

2

，
∵AN₂=OA=2，∴CN₂=AC-AN₂=2

2

-2．
∵AN₂=OA，∴∠AON₂=∠AN₂O，
∵BC∥OA，∴∠AON₂=∠CP₂N₂，又∠AN₂O=∠CN₂P₂，
∴∠CN₂P₂=∠CP₂N₂，
∴CP₂=CN₂=2

2

-2．
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為：x=AB+BC-CP₂=2+2-（2

2

-2）=6-2

2

；
③△AON₃．此時(shí)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C，P、C、N三點(diǎn)重合，△AON₃為等腰直角三角形，
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為：x=AB+BC=2+2=4．
綜上所述，當(dāng)x=2，x=6-2

2

或x=4時(shí)，△AON為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)變換作圖、正方形、等腰三角形、解一元二次方程等重要知識(shí)點(diǎn)．第（3）問(wèn)是動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題，△AON為等腰三角形的情形有三種，注意不要漏解．作為中考?jí)狠S題，本題難度不大，有利于基礎(chǔ)扎實(shí)的考生獲得好成績(jī)．