在△ABC中,已知AB>AC,AD平分∠BAC交BC于點D,點E在DC的延長線上,且
DE
BD
=k
,過E作EF∥AB交AC的延長線于F.
(1)如圖1,當k=1時,求證:AF+EF=AB;
(2)如圖2,當k=2時,直接寫出線段AF、EF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系:
AF+EF=2AB
AF+EF=2AB

(3)如圖3,當
DE
BD
=k
時,請猜想線段AF、EF、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系(含k),并證明你的結(jié)論.
分析:(1)延長AD、EF交于點G,當k=1時,DE=BD,再根據(jù)∠BDA=∠EDG,BD=ED,證出△ABD≌△GED,得出AB=GE,又因為∠BAD=∠DAC,所以∠FGD=∠DAC,AF=GF,
即可證出AF+EF=AB;
(2)當k=2時,同(1)可得△ABD∽△GED,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論;
(3)當
DE
BD
=k
時,同(1)可得△ABD∽△GED,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論.
解答:(1)證明:如圖1,延長AD、EF交于點G,
當k=1時,DE=BD
∵EF∥AB,
∴∠BAD=∠EGD,
在△ABD與△GED中,
∠BAD=∠EGD
∠BDA=∠EDC
BD=ED
,
∴△ABD≌△GED(AAS),
∴AB=GE,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠FGD=∠DAC,
∴AF=GF,
∴AF+EF=AB;

(2)解:如圖2,延長AD、EF交于點G,當k=2時,
∵EF∥AB,
∴∠BAD=∠EGD,
又∵∠BDA=∠EDG,
∴△ABD∽△GED,
GE
AB
=
DE
BD
=2,即GE=2AB,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠FGD=∠DAC,
∴AF=GF,
∴AF+EF=2AB;

(3)猜想:AE+EF=kAB.
證明:如圖3,延長AD、EF交于點G,當
DE
BD
=k時,
∵EF∥AB,
∴∠BAD=∠EGD,
又∵∠BDA=∠EDG,
∴△ABD∽△GED,
GE
AB
=
DE
BD
=k,即GE=kAB,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠FGD=∠DAC,
∴AF=GF,
∴AF+EF=kAB.
點評:本題考查的是相似三角形綜合題,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出相似三角形,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵.
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