Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠ADB=120°，∠ADC=90°，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE，連接DE．

（1）求證：AD=DE；
（2）求∠DCE的度數(shù)；
（3）若BD=1，求AD，CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACE

∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，

∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，

∵△ABC為等邊三角形

∴∠BAC=60°

∴∠DAE=60°

∴△ADE為等邊三角形，

∴AD=DE

（2）∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°

∴∠DCE=360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE=90°

（3）∵△ADE為等邊三角形

∴∠ADE=60°

∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°

又∵∠DCE=90°

∴DE=2CE=2BD=2，

∴AD=DE=2

在Rt△DCE中，

【解析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)先判斷出△ADE是等邊三角形即可；（2）利用四邊形的內(nèi)角和即可求出結(jié)論；（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．