Question

拋物線的頂點在直線上，過點F（－2，2）的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B．

（1）(3分)先通過配方求拋物線的頂點坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含m的代數(shù)式表示），再求m的值；

（2）(3分)設(shè)點N的橫坐標(biāo)為a，試用含a的代數(shù)式表示點N的縱坐標(biāo)，并說明NF＝NB；

（3）(3分)若射線NM交x軸于點P，且PA×PB＝，求點M的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）N(a, )，證明見解析（3）M（－3 , ）

【解析】解：（1）∵，∴頂點坐標(biāo)為(－2 , )。

∵頂點在直線上，@]∴－2+3=，解得。

（2）∵點N在拋物線上，且點N的橫坐標(biāo)為a，

∴點N的縱坐標(biāo)為，即點N(a, )。

過點F作FC⊥NB于點C，

在Rt△FCN中，F(xiàn)C=a+2，NC=NB－CB=,

∴ 

。

而，

∴NF²=NB²，NF=NB。

（3）連接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，

由（2）的結(jié)論知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA。

∵MA⊥x軸，NB⊥x軸，

∴MA∥NB�！唷螦MF+∠BNF=180°。

∵△MAF和△NFB的內(nèi)角總和為360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°。

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。

又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。

∴，∴PF²= PA×PB＝。

過點F作FG⊥x軸于點G。

在Rt△PFG中，，∴PO=PG+GO=。

∴P(－ , 0) 。

設(shè)直線PF：，把點F（－2 , 2）、點P(－ , 0)代入得

，解得。

∴直線PF：。

解方程，得x=－3或x=2（不合題意，舍去）。

當(dāng)x=－3時，，∴M（－3 , ）。

（1）利用配方法將二次函數(shù)整理成頂點式即可，再利用點在直線上的性質(zhì)得出答案即可。

 （2）首先利用點N在拋物線上，得出N點坐標(biāo)，再利用勾股定理得出NF²=NC²+FC²，從而得出NF²=NB²，即可得出答案。

（3）求點M的坐標(biāo)，需要先求出直線PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關(guān)的比例線段將PA•PB的值轉(zhuǎn)化為PF的值，從而求出點F的坐標(biāo)和直線PF的解析式，即可得解。