Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4（a＜0）經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)．已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上且在x軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令x=0，可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由BC∥x軸可知B，C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)AC=BC可求出A點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）分三種情況討論：
①以AB為腰且頂角為∠A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出P₁N的長(zhǎng)，即可求出P₁的坐標(biāo)；
②以AB為腰且頂角為角B，根據(jù)MN的長(zhǎng)和MP₂的長(zhǎng)，求出P₂的縱坐標(biāo)，已知其橫坐標(biāo)，可得其坐標(biāo)；
③以AB為底，頂角為角P時(shí)，依據(jù)Rt△P₃CK∽R(shí)t△BAQ即可求出OK和P₃K的長(zhǎng)，可得P₃坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²-5ax+4可知C（0，4），對(duì)稱軸x=-

b

2a

=

5

2

，
則BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4中，
解得a=-

1

6

，
故y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（2）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．以下分三類情形探索．
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于N，與CB交于M．
過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)：△P₁AB．
則AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．
②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

PB 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，
則P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．
③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P₃AB．
畫AB的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P₃，此時(shí)平分線必過(guò)等腰△ABC的頂點(diǎn)C．
過(guò)點(diǎn)P₃作P₃K垂直y軸，垂足為K，
∵∠CP₃K=∠ABQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt_△P₃CK∽R(shí)t_△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，
∴P₃（2.5，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了用對(duì)稱軸公式求函數(shù)對(duì)稱軸方程，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等基礎(chǔ)知識(shí)，還結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)考查了點(diǎn)的存在性問題，有一定的開放性．