Question

如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FC，連接BE，DE，BF，DF．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）求證：CD²+3DE²是定值．

Answer 1

證明：（1）連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．

（2）設(shè)AD=b，CD=a，AC=c，
過E作EM⊥AD于M，
∵EM⊥AD，∠ADC=90°，
∴EM∥CD，
∴==，
∴EM=CD=a，DM=AD=b，
由勾股定理得：DE²=EM²+DM²=a²+b²，CD²=AC²-AD²=c²-b²，
∴CD²+3DE²=c²-b²+a²+b²=c²+（a²+b²）=c²+c²=AC²，
∴CD²+3DE²是定值．
分析：（1）連接BD交AC于O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知推出OE=OF，OB=OD，即可求出答案；
（2）設(shè)AD=b，CD=a，AC=c，過E作EM⊥AD于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出EM=CD=a，DM=AD=b，根據(jù)勾股定理求出即可．
點(diǎn)評：本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．