Question

閱讀探索：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？”（完成下列空格）
（1）當(dāng)已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為6和1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：

x+y= 7 2 xy=3

，消去y化簡(jiǎn)得：2x²-7x+6=0，
∵△=49-48＞0，∴x₁=

 

，x₂=

 

，
∴滿足要求的矩形B存在．
（2）如果已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為2和1，請(qǐng)你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．
（3）如果矩形A的邊長(zhǎng)為m和n，請(qǐng)你研究滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？

Answer 1

分析：（1）直接利用求根公式計(jì)算即可；
（2）參照（1）中的解法解題即可；
（3）解法同上，利用根的判別式列不等關(guān)系可求m，n滿足的條件．

解答：解：（1）由上可知
（x-2）（2x-3）=0
∴x₁=2，x₂=

3

2

；

（2）設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得

x+y= 3 2 xy=1

消去y化簡(jiǎn)，得
2x²-3x+2=0
∵△=9-16＜0
∴不存在矩形B；

（3）（m+n）²-8mn≥0．
設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意，得

x+y= m+n 2 xy= mn 2

消去y化簡(jiǎn)，得
2x²-（m+n）x+mn=0
△=（m+n）²-8mn≥0
即（m+n）²-8mn≥0時(shí)，滿足要求的矩形B存在．

點(diǎn)評(píng)：此類題目要讀懂題意，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系列方程組，要會(huì)靈活運(yùn)用根的判別式在不解方程的情況下判斷一元二次方程的解的情況．