如圖,一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B.P是射線BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合),過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為C,在射線CA上截取CD=CP,連接PD.設(shè)BP=t.

(1)t為何值時(shí),點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合?
(2)設(shè)△PCD與△AOB重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出t的取值范圍.

解:(1)在一次函數(shù)解析式中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=3,
∴A(3,0),B(0,4)。
在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,由勾股定理得:AB=5。
在Rt△BCP中,CP=PB•sin∠ABO=t,BC=PB•cos∠ABO=t,
∴CD=CP=t。
若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合,則BC+CD=AB,即t+t=5,解得:t=。
∴當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合。
(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),t=4;
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),由BC=BA,即t=5,得t=
∴點(diǎn)P在射線BO上運(yùn)動(dòng)的過程中,分為四個(gè)階段:
當(dāng)0<t≤時(shí),如題圖所示,
此時(shí)S=SPCD=CP•CD=t•t=t2。
②當(dāng)<t≤4時(shí),如答圖1所示,設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E,

BD=BC+CD=t+t=t,
過點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N,
則ND=BD•sin∠ABO=t•=t
BN=BD•cos∠ABO=t•=t。
∴PN=BN﹣BP=t﹣t=t,ON=BN﹣OB=t﹣4。
∵ND∥x軸,∴△OEP∽△NDP。
,即,得:OE=28﹣7t.。
∴AE=OA﹣OE=3﹣(28﹣7t)=7t﹣25。
。
③當(dāng)4<t≤時(shí),如答圖2所示,設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E.

AC=AB﹣BC=5﹣t,
,
∴CE=AC•tan∠OAB=(5﹣t)×= t。

。
④當(dāng)t>時(shí),無重合部分,故S=0。
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
。

解析試題分析:(1)首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后在Rt△BCP中,解直角三角形求出BC,CP的長度;進(jìn)而利用關(guān)系式AB=BC+CD,列方程求出t的值。
(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,分為四個(gè)階段,需要分類討論:
①當(dāng)0<t≤時(shí),如題圖所示,重合部分為△PCD;
②當(dāng)<t≤4時(shí),如答圖1所示,重合部分為四邊形ACPE;
③當(dāng)4<t≤時(shí),如答圖2所示,重合部分為△ACE;
④當(dāng)t>時(shí),無重合部分。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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型號(hào)
A
B
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240
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(3)根據(jù)市場調(diào)查,每臺(tái)B型挖掘機(jī)的售價(jià)不會(huì)改變,每臺(tái)A型挖掘機(jī)的售價(jià)將會(huì)提高m萬元(m>0),該廠應(yīng)該如何生產(chǎn)獲得最大利潤?(注:利潤=售價(jià)﹣成本)

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