如圖1所示,等邊△ABC中,AD是BC邊上的中線,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,則有∠BAD=30°,BD=CD=
1
2
AB
.于是可得出結(jié)論“直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.

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請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,則BC=______;
(2)如圖2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,垂足為E,當(dāng)BD=5cm,∠B=30°時(shí),△ACD的周長(zhǎng)=______.
(3)如圖3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,那么BE:EA=______.
(4)如圖4所示,在等邊△ABC中,D、E分別是BC、AC上的點(diǎn),且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于點(diǎn)P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.


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(1)∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,且∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=30,∠C=90°,
∴BC=
1
2
AB=
a
2

故填:
a
2


(2)如圖2,∵DE是線段BC的垂直平分線,∠ACB=90°,
∴CD=BD,AD=BD.
又∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC=
1
2
AB,
∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+AB=3BD=15cm.
故填:15cm;

(3)如圖3,連接AD.
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中點(diǎn),
∴∠BAD=60°.
又∵DE⊥AB,
∴∠B=∠ADE=30°,
∴BE=
1
2
BD,AE=
1
2
AD,
∴BE:EA=BD:AD=tan60°=
3
:1.
故填:
3
:1.

(4)BP=2PQ.理由如下:
∵△ABC為等邊三角形.
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,
在△BAE和△ACD中,
AE=CD
∠BAC=∠ACB
AB=AC

∴△BAE≌△ACD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BPQ為△ABP外角,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•黃石)如圖1所示:等邊△ABC中,線段AD為其內(nèi)角角平分線,過(guò)D點(diǎn)的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1
(1)請(qǐng)你探究:
AC
AB
=
CD
DB
AC1
AB1
=
C1D
DB1
是否都成立?
(2)請(qǐng)你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請(qǐng)問(wèn)
AC
AB
=
CD
DB
一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖2所示Rt△ABC中,∠ACB=90?,AC=8,AB=
40
3
,E為AB上一點(diǎn)且AE=5,CE交其內(nèi)角角平分線AD于F.試求
DF
FA
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•樂(lè)山)如圖,已知拋物線C經(jīng)過(guò)原點(diǎn),對(duì)稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線C的解析式;
(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′,拋物線C′與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過(guò)線段OA上的兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別作x軸的垂線,交折線O-B-A于點(diǎn)E1,F(xiàn)1,再分別以線段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),求時(shí)間t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1所示,等邊△ABC中,AD是BC邊上的中線,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性,AD平分∠BAC,且AD⊥BC,則有∠BAD=30°,BD=CD=
1
2
AB
.于是可得出結(jié)論“直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.

請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問(wèn)題:
(1)△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,AB=a,則BC=
a
2
a
2

(2)如圖2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,垂足為E,當(dāng)BD=5cm,∠B=30°時(shí),△ACD的周長(zhǎng)=
15cm
15cm

(3)如圖3所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,那么BE:EA=
3:1
3:1

(4)如圖4所示,在等邊△ABC中,D、E分別是BC、AC上的點(diǎn),且∠CAD=∠ABE,AD、BE交于點(diǎn)P,作BQ⊥AD于Q,猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線C經(jīng)過(guò)原點(diǎn),對(duì)稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線C的解析式;
(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′,拋物線C′與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過(guò)線段OA上的兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別作x軸的垂線,交折線O-B-A于點(diǎn)E1,F(xiàn)1,再分別以線段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),求時(shí)間t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年四川省樂(lè)山市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知拋物線C經(jīng)過(guò)原點(diǎn),對(duì)稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線C的解析式;
(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′,拋物線C′與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線C′上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過(guò)線段OA上的兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別作x軸的垂線,交折線O-B-A于點(diǎn)E1,F(xiàn)1,再分別以線段EE1,F(xiàn)F1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2,等邊△FF1F2.點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),求時(shí)間t的值.

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