Question

如圖，矩形OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸上，連接OB，將紙片OABC沿BC折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′B與y軸交于點(diǎn)F，已知OA=1，AB=2。

（1）設(shè)CF=x，則OF=_____；
（2）求BF的長(zhǎng)；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)B的雙曲線為l，試問(wèn)雙曲線l上是否存在一點(diǎn)M，使得以O(shè)B為一邊的△OBM的面積等于1？若存在，試求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：∠FBO=∠OBA
在矩形OABC中，OC∥AB，則∠FOB=∠OBA
∴∠FBO=∠OBA
∴BF=OF=
在Rt△FCB中，BC=OA=1，由勾股定理可得

即：
解得
則BF=OF=。
（3）設(shè)雙曲線l的解析式為：
又過(guò)點(diǎn)B（1，2）
∴，
∴
因?yàn)镾_△OAB==×1×2=1
∴S_△COB=S_△A′OB=1
∴雙曲線l上符合條件的點(diǎn)M，應(yīng)在與OB平行且距離等于點(diǎn)C到OB的距離的直線上。
直線OB過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，2）
直線OB的解析式為，則過(guò)點(diǎn)C與OB平行的直線為：
點(diǎn)M可能是過(guò)點(diǎn)C且與OB平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)
由，解得
由軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)M可能是過(guò)點(diǎn)A且與OB平行的直線與雙曲線l的交點(diǎn)
由，解得：
綜上，符合條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是或x=。