Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，3），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，連結(jié)OA，拋物線y=-x²-2x+c經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)C

（1）求c的值；
（2）將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）．
（3）將△OAB沿直線OA翻折，記點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，向左平移拋物線，使B′恰好落在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，求平移后的拋物線解析式．
（4）連接BC，設(shè)點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，如果B、C、E、F構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)（不必書寫計(jì)算過程）．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，3）代入拋物線y=-x²-2x+c，即可求出c的值；
（2）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出拋物線的對(duì)稱軸與AB、AO的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，3）、（-1，5），即可求出求m的取值范圍；
（3）由于B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，而E，F(xiàn)坐標(biāo)待定，那么由B、C、E、F構(gòu)成的平行四邊形應(yīng)分兩種情況考慮：
①BC為平行四邊形的一邊時(shí)；②BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)．兩種情況分別求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（-2，3）代入y=-x²-2x+c，解得c=3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）
∵拋物線的對(duì)稱軸與AB、AO的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，3）、（-1，1.5），
∴最小移動(dòng)距離m=4-3=1，最大移動(dòng)距離m=4-1.5=2.5，
∵頂點(diǎn)不在三角形的邊上，在三角形的內(nèi)部，
∴m的取值范圍為1＜m＜2.5；

（3）延長(zhǎng)BA交對(duì)稱軸于M，
∵∠B′=90°，∴△AMB′∽△B′NO，

AM

B′N

=

MB′

ON

=

AB′

OB′

=

2

3

，
設(shè)AM=a，可得B′N=

3

2

a，由勾股定理得：AM²+MB²=AB′²，
∴a²+（3-

3

2

a）²=2²，
解得：a₁=2，a₂=

10

13

，
∴MB=2+

10

13

=

36

13

，故向左平移

23

13

個(gè)單位，y=-（x+

36

13

）²+4；

（4）①BC為平行四邊形的一邊時(shí)；E₁（-1，0），E₃（-2-

7

，0），
②BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)E₂（3，0），E₄（-2+

7

，0），
綜上所述：如果B、C、E、F構(gòu)成平行四邊形，則E點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：E₁（-1，0），E₂（3，0），E₃（-2-

7

，0），E₄（-2+

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了結(jié)合平行四邊形的判斷考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及主要考查了代入法求二次函數(shù)解析式及交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求法，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．