Question

如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△E₁B₂D₂的面積為S₁，△E₂B₃D₃的面積為S₂，…，△E_nB_n+1D_n+1的面積為S_n，則S₁=

 

，S_n=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出等邊三角形的高，連接B₁B_n+1，可得B₁B_n+1為n個邊長為2的等邊三角形的一邊所在的直線，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出

E1B2

B2C1

，B₂D₂，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點E₁到B₂D₂的距離，然后利用三角形的面積公式求出S₁，依此類推求出E_nB_n+1、B_n+1D_n+1，再求出點E_n到B_n+1D_n+1的距離，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：∵等邊三角形的邊長為2，
∴等邊三角形的高為2×

3

2

=

3

，
如圖，連接B₁B_n+1，則B₁B_n+1為n個邊長為2的等邊三角形的一邊所在的直線，
∴B₁B_n+1∥AC_n，
∴△AC₁E₁∽△B₃B₂E₁，△AC₂D₂∽△B₃B₂D₂，
∴

E1B2

E1C1

=

B3B2

AC1

=

2

2

=1，

B2D2

C2D2

=

B3B2

AC2

=

2

4

=

1

2

，
∴

E1B2

B2C1

=

1

1+1

=

1

2

，B₂D₂=2×

1

1+2

=

2

3

，
∴點E₁到B₂D₂的距離=

1

2

×

3

=

3

2

，
∴S₁=

1

2

B₂D₂•

3

2

=

1

2

•

2

3

•

3

2

=

3

6

；
同理可求，點E₂到B₃D₃的距離=

1

1+2

×

3

=

3

3

，
…，
點E_n到B_n+1D_n+1的距離=

1

n+1

×

3

=

3

n+1

，
B₃D₃=2×

1

1+3

=

2

4

，
…，
B_n+1D_n+1=2×

1

1+(n+1)

=

2

n+2

，
∴S_n=

1

2

•

2

n+2

•

3

n+1

=

3

(n+1)(n+2)

．
故答案為：

3

6

；

3

(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線得到平行線從而得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．