Question

28． (本題12分)如圖，一拋物線的頂點(diǎn)A為(2，－1)，交x軸于B、C(B左C右)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，且B(1，0)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，

(1)求拋物線解析式．

(2)連接CＤ、BD，在x軸上確定點(diǎn)E，使以A、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

(3)若點(diǎn)M(m，1)是拋物線上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q也在拋物線上，點(diǎn)P在x軸上，是否存在以O(shè)、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

        E      

 P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；（4，0）；（4+，0）．

解析:解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)A為（2，-1），可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，

把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，

∴y（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

過(guò)A作AH⊥x軸，如圖，

易得△ODC和△ACH都為等腰直角三角形，BC=2，DC=3，AC=，

∴∠DCB=∠ACH=45°，

當(dāng)以A、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似，則∠DCB=∠ACE=45°，

若CE：CB=CA：CD，即CE：2=：3，解得CE=，

∴OE=3-=，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

若CE：CD=CA：CB，即CE：3=：2，解得CE=3，

∴OE=3-3=0，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）舍去；

（3）存在．P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；（4，0）；（4+，0）．

 先確定M（2+，1），然后分類(lèi)討論：當(dāng)OP為對(duì)角線，則M與Q到x軸的距離相等，都為1，所以Q點(diǎn)在A點(diǎn)，求出AM的解析式，得到與x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)，P1與O關(guān)于G對(duì)稱(chēng)，可得P1坐標(biāo)；當(dāng)OM為對(duì)角線，則MQ∥x軸，這樣可確定Q2的坐標(biāo)，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可確定P2的坐標(biāo)；同理可得到P3的坐標(biāo)．