Question

（本題12分）如圖，拋物線y=ax²＋bx＋c交x軸于點A（－3，0），點B（1，0），交y軸于點E（0，－3）。點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行。直線y=－x＋m過點C，交y軸于D點.
⑴求拋物線的函數(shù)表達式；
⑵點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于     點G，求線段HG長度的最大值；
⑶在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標.

Answer 1

解：（1）設拋物線的函數(shù)表達式為y=a（x-1）（x+3）

∵拋物線交y軸于點E（0，-3），將該點坐標代入上式，得a=1
∴所求函數(shù)表達式為y=（x-1）（x+3），
即y=x²+2x-3；
（2）∵點C是點A關于點B的對稱點，點A坐標（-3，0），點B坐標（1，0），
∴點C坐標（5，0），
∴將點C坐標代入y=-x+m，得m=5，
∴直線CD的函數(shù)表達式為y=-x+5，
設K點的坐標為（t，0），則H點的坐標為（t，-t+5），G點的坐標為（t，t²+2t-3），
∵點K為線段AB上一動點，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t²+2t-3）=-t²-3t+8=-（t+ ）²+ ，
∵-3＜- ＜1，
∴當t="-" 時，線段HG的長度有最大值；
（3）∵點F是線段BC的重點，點B（1，0），點C（5，0），
∴點F的坐標為（3，0），
∵直線l過點F且與y軸平行，
∴直線l的函數(shù)表達式為x=3，
∵點M在直線l上，點N在拋物線上，
∴設點M的坐標為（3，m），點N的坐標為（n，n²+2n-3），
∵點A（-3，0），點C（5，0），
∴AC=8，
分情況討論：
①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN=AC=8．
當點N在點M的左側時，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N點的坐標為（-5，12），
當點N在點M的右側時，MN=n-3，
∴n-3=8，
解得n=11，
∴N點的坐標為（11，140），
②若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C與點A關于點B中心對稱”知：點M與點N關于點B中心對稱，取點F關于點B的對稱點P，則P點坐標為（-1，0）
過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N，
將x=-1代入y=x²+2x-3，得y=-4，
過點N，B作直線NB交直線l于點M，
在△BPN和△BFM中，
∠NBP=∠MBF，
BF=BP，
∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，
∴坐標（-1，-4）的點N符合條件，
∴當N的坐標為（-5，12），（11，140），（-1，-4）時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．解析:
略