Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCD的頂點A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點D在x軸的負半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=
（1）求直線AB的解析式；
（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒5個單位長的速度沿著線段AB向終點B運動；同時動點Q從點D出發(fā)，以每秒4個單位長的速度沿著線段DA終點A運動，過點Q作QH⊥AB，垂足為點H，當一點到達終點時，另一的也隨之停止運動．設線段朋的長度為y，點P運動時間為t，求y與t的函數(shù)關系式；（請直接寫出自變量t的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對應線段為A’P，當t為何值時，A’P∥CD，并通過計算說明，此時以為半徑的ΘP與直線QH的位置關系．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠C=∠CDB，
∴BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=10，
在△BDO中，設OD=a，則OB=3a，
在Rt△ABO中，（10-a）²+（3a）²=10²，
∴a=2，a=0（舍去），
∴點A、B的坐標分別是（8，0），（0，6），
設直線AB的解析式是y=kx+b，∴，
解得：k=-，b=6，
∴直線AB的解析式是y=-x+6．

（2）由題意得：DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，
cos∠PAO===，
在Rt△AQH中，=，
∴AH=（10-4t），
當P與H重合時，cos∠QAH=cos∠QAP===，
解得：t=，
①0≤t＜，y=PH=AH-AP=（10-4t）-5t=t+8；
②＜t≤2，y=AP-AQ=T-8；
綜合上述：求得的解析式是．

（3）如圖1，當0≤t＜時，延長A′P與x軸交于點K，
∵A′P∥CD，
∴∠AKP=90°，
在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，
QK=AQ-AK=10-4t-4t=10-8t，
在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，
∴AP=5t，
tan∠QA′K===，
∴t=，此時，y=-×+8=，
此時等于⊙P的半徑，
所以⊙P和直線相切；
當＜t≤2時，點A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點K，
同理可求得：KQ=8t-10，
sin∠A′=sin∠BAC==，
∴t=，
此時y=×-8=＞，
所以⊙P與直線相離．
分析：（1）根據(jù)平行線性質和梯形性質求出BA=AD，設OD=a，根據(jù)勾股定理得出（10-a）²+（3a）²=10²，求出a，得出A、B的坐標，設直線AB的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（2）求出DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出=，求出AH的值，當P與H重合時，根據(jù)cos∠QAP=，求出t，①0≤t＜，根據(jù)y=PH=AH-AP代入求出y；②＜t≤2，根據(jù)y=AP-AQ代入求出y；
（3）當0≤t＜時，根據(jù)平行線和銳角三角函數(shù)cos∠QA′K=，代入求出t，求出y，根據(jù)直線和圓的位置關系求出即可；當＜t≤2時，點A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點K，同理可求得t，根據(jù)直線和圓的位置關系求出即可．
點評：本題考查了對直線與圓的位置關系，勾股定理，平行線的性質，直角梯形，翻折變換，銳角三角函數(shù)等知識點的應用，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學生提出較高的要求，通過做此題培養(yǎng)了學生綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力．