Question

全國(guó)第十屆數(shù)學(xué)教育方法論暨M(jìn)M課題實(shí)施20周年紀(jì)念活動(dòng)于9月27在無錫市一中拉開帷幕．與會(huì)期間全國(guó)數(shù)十位老師上了精彩紛呈的展示課，其中青島一位老師的“折紙”課，武漢的裴光亞教授評(píng)價(jià)是：“栩栩如生，五彩繽紛”．課堂上老師提出這樣一個(gè)問題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個(gè)菱形嗎？有兩位同學(xué)很快折出了各自不同的菱形，如下圖：

（1）如果該矩形紙片的長(zhǎng)為4，寬為3，則甲、乙兩圖中的菱形面積分別為：______ ．
（2）這時(shí)老師說，這兩位同學(xué)折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應(yīng)該怎樣折出來嗎？如下圖所示：在矩形ABCD中，設(shè)AB=3，AD=4，請(qǐng)你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標(biāo)注上適當(dāng)?shù)淖帜福�并求出這個(gè)菱形的面積．

（3）借題發(fā)揮：
如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折疊該矩形，使得點(diǎn)D與AB邊的中點(diǎn)E重合，折痕交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，邊DC折疊后與BC交于點(diǎn)M． 試求：△EBM的面積．

Answer 1

（1）6和9 ；  （2）如圖：（以BD或 AC為對(duì)角線，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC）    解：如圖 設(shè)線段ED的長(zhǎng)為x.     ∵ 四邊形BFDE是菱形     ∴ ED=BE=x   又∵ 矩形ABCD中 AB=3，AD=4      ∴ AE=4-x     在Rt△ABE中 AE2+AB2=BE2     ∴    解之得： x=， ∴ ED=      ∴ （3）解：如圖 ∵ 對(duì)折 ∴DF=EF 設(shè)線段DF的長(zhǎng)為x，則EF=x     ∵AD=3 ∴AF=3-x     ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=2     ∴    在Rt△AEF中有    ∴   解之得： x= ，   ∴AF=     在矩形ABCD中由于對(duì)折    ∴∠D=∠FEM=90。       ∴∠1+∠2=90。     又∵∠A=∠B=90。       ∴∠1+∠3=90。      ∴∠2=∠3     ∴∽ ，     ∴     ∴BM=     ∴