Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點(diǎn)E，D 為AC上一點(diǎn)，∠AOD＝∠C．

（1）求證：OD⊥AC；
（2）若AE＝8，cosA＝，求OD的長．

Answer 1

⑴證明過程見解析，⑵3

（1）證明：∵BC是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑
∴∠ABC=90°，------------------2分
∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，-----------------------3分
∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.            ----------------4分
（2）解：∵OD⊥AE，O為圓心，
∴D為AE中點(diǎn) ，---------------------------5分
∴，-------------------6分
又∵cosA=，∴=∴AO=5--------------7分
∴OD="3----------------------" -8分
（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABC=90°，進(jìn)而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可證明；（2）由垂徑定理可得，D為AE中點(diǎn)，根據(jù)已知可利用銳角三角函數(shù)求出