Question

已知：如圖①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分別是邊BC，CD上的點。
（1）如圖①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的長；
（2）如圖②，若=2，且E，F，G分別為AP，PQ，PC的中點，求四邊形EPGF的面積。

圖①                             圖②

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠CPQ+∠PQC=90°， ∵AP⊥PQ， ∴∠CPQ+∠APB=90°， ∴∠APB=∠PQC， ∴△ABP∽△PCQ， ∴，即， ∴CQ=3； （2）取BP的中點H，連接EH，由=2，設CQ=a，則BP=2a， ∵E，F，G，H分別為AP，PQ，PC，BP的中點， ∴EH∥AB，FG∥CD， 又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°， ∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC， ∴四邊形EHGF是直角梯形， ∴EH=AB=2，FG=CQ=a，HP=BP=a，HG=HP+PG=BC=4， ∴S梯形EHGF=（EH+FG）·HG=（2+a）·4=4+a， S△EHP=HP·EH=a·2=a， ∴S四邊形EPGF=S梯形EHGF-S△EHP=4+a-a=4。

圖① 圖②