Question

如圖1，已知開(kāi)口向上的拋物線C₁：y=a（x+2）²-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，如圖1所示），且AB=2

5

．

（1）求a的值；
（2）若直線y=-2x+b與拋物線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別與x、y軸相交于C、D兩點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線CD的距離；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C₁繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₂．拋物線C₂的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊，如圖2所示），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2+

5

，0），將它代入拋物線的解析式，即可求出a的值；
（2）先將y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線y=-2x+b與拋物線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，得出此一元二次方程的判別式△=0，求得b=-10，得直線CD的解析式為y=-2x-10，再過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，根據(jù)互相垂直的兩直線的斜率乘積為-1，可設(shè)直線PE的解析式為y=

1

2

x+n，將P（-2，-5）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PE的解析式，然后與直線CD的解析式聯(lián)立，求出交點(diǎn)即垂足E的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出PE的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)拋物線C₂是由C₁繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到的，可知點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=2

5

，F(xiàn)G=

5

，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+

5

，0），點(diǎn)H坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，-5），再根據(jù)勾股定理得：PN²=m²+4m+104，PF²=m²+（2

5

+4）m+34+4

5

，NF²=30．然后分三種情況進(jìn)行討論：①∠PNF=90°；②∠PFN=90°；③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°．前面兩種情況均可利用勾股定理列方程求解．

解答：解：（1）∵拋物線C₁的解析式為y=a（x+2）²-5，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），
∵拋物線C₁：y=a（x+2）²-5與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），且AB=2

5

，
∴A（-2-

5

，0），B（-2+

5

，0）．
將點(diǎn)B的坐標(biāo)（-2+

5

，0）代入拋物線C₁的解析式，
得0=a（-2+

5

+2）²-5，
解得，a=1．
故所求a的值為1；

（2）如圖，將y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得-2x+b=（x+2）²-5，
整理，得x²+6x-1-b=0，
∵直線y=-2x+b與拋物線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴判別式△=0，即36-4（-1-b）=0，
解得b=-10，
∴直線CD的解析式為y=-2x-10．
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，設(shè)直線PE的解析式為y=kx+n．
∵PE⊥CD，直線CD的斜率為-2，
∴k=

1

2

，
將P（-2，-5）代入y=

1

2

x+n，
得-5=

1

2

×（-2）+n，
解得n=-4．
即直線PE的解析式為y=

1

2

x-4．
解方程組

y=-2x-10 y= 1 2 x-4

，解得

x=- 12 5 y=- 26 5

，
∴E（-

12

5

，-

26

5

），
∴PE=

(-2+ 12 5 )2+(-5+ 26 5 )2

=

5

5

．
故點(diǎn)P到直線CD的距離

5

5

；


（3）∵拋物線C₂由C₁繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到，
∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K．
∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2FG=2

5

，
∴FG=

5

，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+

5

，0），點(diǎn)H坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，-5）．
根據(jù)勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+（2

5

+4）m+34+4

5

，NF²=5²+（

5

^）2=30．
分三種情況：
①∠PNF=90°時(shí)，PN²+NF²=PF²，解得m=10

5

-2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5

5

-2，0）；
②當(dāng)∠PFN=90°時(shí)，PF²+NF²=PN²，解得m=4

5

-2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2

5

-2，0）；
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°．
綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5

5

-2，0）或（2

5

-2，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用直角三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合在一起，利用勾股定理作為相等關(guān)系求解．