Question

（2003•宜昌）如圖，矩形ABCD是一塊需探明地下資源的土地，E是AB的中點(diǎn)，EF∥AD交CD于點(diǎn)F，探測(cè)裝置（設(shè)為點(diǎn)P）從E出發(fā)沿EF前行時(shí)，可探測(cè)的區(qū)域是以點(diǎn)P為中心，PA為半徑的一個(gè)圓（及其內(nèi)部）．當(dāng)（探測(cè)裝置）P到達(dá)點(diǎn)P處時(shí)，⊙P與BC、EF、AD分別交于G、F、H點(diǎn)．
（1）求證：FD=FC；
（2）指出并說明CD與⊙P的位置關(guān)系；
（3）若四邊形ABGH為正方形，且三角形DFH的面積為（2-2）平方千米，當(dāng)（探測(cè)裝置）P從點(diǎn)P出發(fā)繼續(xù)前行多少千米到達(dá)點(diǎn)P₁處時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)恰好在⊙P₁上．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明FD=FC，只要證明AD∥EF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求解．
（2）DF與⊙P相切．要證明DF與⊙P相切，只要證明EF過圓心P，OF過半徑PF的外端，就可以求解．
（3）易證HG∥CD，Rt△PMH是等腰直角三角形，根據(jù)S_△HDF=HD•DF，就可以求出NE=MF的長．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又∵AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
又∵AE=BE，
∴DF=FC．（1分）

（2）解：DF與⊙P相切．
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，即AD⊥DF，
∵AD∥EF，
∴EF⊥DF；
又∵EF過圓心P，OF過半徑PF的外端，
∴DF切⊙P于點(diǎn)F．（3分）

（3）解：如圖，連接HF，PH，延長FE交⊙P于點(diǎn)N，EF交HG于點(diǎn)M，設(shè)HD=x，DF=y；
∵四邊形ABGH是正方形，
∴AB∥HG，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴HG∥CD；
又∵AD∥EF，
∴HD=MF=xDF=MH=y．
又∵正方形ABGH內(nèi)接于⊙P，
∴NE=MF=x，∠PHM=45°，
∴在RT△PMH中，⊙P半徑PH=HM=y，
∴NF=NE+EP+PM+MF=2x+2y；
又∵NF=αPH=αy，
∴2x+2y=2y．（4分）①
又∵S_△HDF=HD•DF=xy=2-2，（5分）②
由①、②可得x=2-2，y=2．（6分）
∴PP₁=PF-P₁F=PM+MF-P₁F=y+x-P₁F=y+x-EF=y+x-（y+y+x）=x，
∴PP₁=-1（千米）．（8分）
答：當(dāng)探查裝置P以P出發(fā)前行（-1）千米到達(dá)P₁時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)恰好在⊙P₁上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及圓的切線的判定方法．