Question

直線l經(jīng)過A（1，0）且與雙曲線y=在第一象限交于點(diǎn)B（2，1），過點(diǎn)P（p+1，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交于雙曲線y=和y=（x＜0）于M，N兩點(diǎn)，
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)E在直線y=-x-3上，且點(diǎn)E在第三象限，使得，平移線段ED得線段HQ（點(diǎn)E與H對應(yīng)，點(diǎn)D與Q對應(yīng)），使得H、Q恰好都落在y=的圖象上，求H、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有滿足條件的p的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由點(diǎn)B（2，1）在y=上，有1=，即m=2．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
由點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，1）在y=kx+b上，
得，
解得，
故所求直線l的解析式為y=x-1；

（2）∵直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)E在直線y=-x-3上，且點(diǎn)E在第三象限，使得，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)比E點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)比E點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1；
∴H點(diǎn)的橫坐標(biāo)比Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，H點(diǎn)的縱坐標(biāo)比Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1，
設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（u，v），Q點(diǎn)的坐標(biāo)（u+1，v-1），則
，
解得，（不合題意舍去），
則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（p+1，p-1），MN∥x軸，
∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，
∴M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，
∴S_△AMN=••（p-1）=2，
當(dāng)p＞1時，S_△APM=（p+1-）（p-1）=（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合題意，舍去），p₂=2．
∴滿足條件的p的值為2．
分析：（1）將點(diǎn)B（2，1）代入y=，即可求出m的值，從而得到反比例函數(shù)的解析式；將點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，1）分別代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）根據(jù)題意可得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)比E點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)比E點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1；根據(jù)平移的性質(zhì)可得H點(diǎn)的橫坐標(biāo)比Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，H點(diǎn)的縱坐標(biāo)比Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1，可設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（u，v），表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)H、Q恰好都落在y=的圖象上，可得方程組求解即可；
（3）由于P點(diǎn)坐標(biāo)為（p+1，p-1），則點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，得到M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，計算出S_△AMN=••（p-1）=2，當(dāng)p＞1時，S_△APM=（p+1-）（p-1）=（p²-3），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4×（p²-3）=2，然后解方程得到p₁=-（不合題意，舍去），p₂=．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，學(xué)會待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，解方程組以及會計算三角形的面積的知識．注意點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式．