Question

如圖1，矩形OABC，O為原點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，把△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)D處，A、D坐標(biāo)分別為（10，0）和（6，0），拋物線過點(diǎn)C、B．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
（2）如圖2，矩形PQRS的長、寬一定，點(diǎn)P沿（1）中的拋物線滑動(dòng)，在滑動(dòng)過程中PQ∥x軸，且RS在PQ的下方，當(dāng)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1時(shí)，點(diǎn)S位于x軸上方且距離x軸個(gè)單位．當(dāng)矩形PQRS在滑動(dòng)過程中被x軸分成上下兩部分的面積比為2：3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長度的速度沿線段OD運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒8個(gè)單位長度的速度沿折線OCD按O→C→D的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、N中的其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OMN的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：CD=CB，因此在已知A、D的坐標(biāo)情況下，能得到CB、CD、OD的長，在Rt△OCD中，利用勾股定理即可求出OC的長，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求；再利用待定系數(shù)法就能求得拋物線的解析式．
（2）將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)-1代入（1）的拋物線解析式中即可求得點(diǎn)P到x軸的距離，再由“點(diǎn)S位于x軸上方且距離x軸個(gè)單位”即可求出PS的長；當(dāng)矩形PQRS的面積被x軸分割成上2下3時(shí)，由于兩個(gè)小矩形的寬相同，所以它們的面積比等于長的比，即此時(shí)的PS被x軸分割成上2下3的情況，結(jié)合PS的長，即可得到此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中就能求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由于點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)過程為：O→C→D，所以整體要分兩個(gè)階段考慮：
①點(diǎn)N在線段OC上時(shí)，首先用t表達(dá)出OM、ON的長，以O(shè)M為底、ON為高，不難得到△OMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②點(diǎn)N在線段CN上時(shí)，OM的長易知，關(guān)鍵是求出OM上的高，先過點(diǎn)N作OD的垂線NH，由∠CDO的正弦值可求出NH的表達(dá)式，以O(shè)M為底、NH為高即可求得關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）由矩形OCBA得：∠COA=∠BAO=90°，OC=AB，BC=OA=10；
由△CBE沿CE翻折得到△CED，得 CD=CB=10，
由勾股定理得：，
得：C（0，8），B（10，8）；
又C、B均在上，代入，得：
，解得
∴．

（2）當(dāng)x=-1時(shí)，，此時(shí)；
又由S距離x軸上方個(gè)單位，得：，∴矩形PQRS的長為8．
設(shè)PQRS在下滑過程中交x軸分別于G、H兩點(diǎn)．
則由題意知：，即
∴；
故P的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則：
，得：a₁=4，a₂=6
∴或．

（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，此時(shí)M在OD上，N在OC上．
∴；
②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)M在OD上，N在CD上．則DN=18-8t
過N作NH⊥OD于H，則，得：
=
∴==；
綜上，．
點(diǎn)評(píng)：題目的敘述和給出的圖形看起來較為復(fù)雜，但通過讀題后可以發(fā)現(xiàn)題目的難度并不大；（1）題中，利用好折疊圖形的特點(diǎn)是關(guān)鍵；（2）題中，只要求出PS的長題目也就解了一大半；最后一題求的是分段函數(shù)，三角形面積的求法應(yīng)熟練掌握，在對(duì)自變量進(jìn)行分段時(shí)，要注意抓住“關(guān)鍵點(diǎn)”（即點(diǎn)N、C重合時(shí)），這在解答此類題目時(shí)是通用的方法．