分析:(1)由A的橫坐標(biāo)得出OC的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形AOC的面積等于兩直角邊OC與AC乘積的一半,由已知的面積及OC的長(zhǎng),求出AC的長(zhǎng),確定出A的坐標(biāo),將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中,即可求出k的值;
(2)由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)圖象可得出直線AB的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍;
(3)過(guò)B作BD垂直于x軸,交x軸于點(diǎn)D,將B的橫坐標(biāo)代入反比例解析式中,求出y的值,即為B的縱坐標(biāo),確定出B的坐標(biāo),進(jìn)而確定出OD及BD的長(zhǎng),用OD-OC求出CD的長(zhǎng),根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到三角形AOC的面積與三角形OBD的面積相等,都為
,直角梯形ACDB的面積等于
(BD+AC)•CD,然后由三角形AOB的面積=三角形AOC的面積+梯形ACDB的面積-三角形OBD的面積,將各自的面積代入即可求出三角形AOB的面積;
(4)在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)P,使得△POA為等腰三角形,分三種情況考慮:當(dāng)AO=AP
1時(shí),根據(jù)等腰三角形的三線合一得到C為OP
1的中點(diǎn),由OC的長(zhǎng)求出OP
1的長(zhǎng),確定出P1的坐標(biāo);當(dāng)OA=OP
2時(shí),根據(jù)A的坐標(biāo)求出OA的長(zhǎng),即為OP
2的長(zhǎng),確定出P
2的坐標(biāo);當(dāng)AP
3=OP
3時(shí),此時(shí)P
3為OA垂直平分線與x軸的交點(diǎn),取OA的中點(diǎn)為M,由O與A的坐標(biāo),利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo),確定出MN及ON的長(zhǎng),過(guò)M作MN垂直于x軸,根據(jù)同角的余角相等可得出三角形AMN與三角形MNP
3一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等,根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出這兩個(gè)三角形相似,由相似得比例,將各自的值代入求出NP
3的長(zhǎng),由ON+NP
3求出OP
3的長(zhǎng),確定出P
3的坐標(biāo),綜上得到所有滿足題意的P的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵A的橫坐標(biāo)為2,
∴OC=2,
又∵Rt△AOC的面積等于4,
∴
OC•AC=4,可得AC=4,
∴A(2,4),
將A的坐標(biāo)代入y=
中,得k=8,
則k的值為8;
(2)由函數(shù)圖象可得:當(dāng)0<x<2或x>4時(shí),直線AB的函數(shù)值小于反比例函數(shù)的值;
(3)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸,交x軸于點(diǎn)D,如圖所示:
由B的橫坐標(biāo)為4,將x=4代入反比例解析式得:y=2,
∴B(4,2),
∴OD=4,BD=2,
又∵OC=2,AC=4,
∴CD=OD-OC=4-2=2,
∵S
△BOD=S
△AOC=
=4,
∴S
△AOB=S
△AOC+S
梯形ACDB-S
△BOD=S
梯形ACDB=
=
=6;
(4)在x軸的正半軸上存在點(diǎn)P,使得△POA為等腰三角形,
分三種情況考慮:
當(dāng)AO=AP
1時(shí),△P
1OA為等腰三角形,
∵A(2,4),
∴OC=2,
又∵AC⊥x軸,
∴C為OP
1的中點(diǎn),
∴OP
1=4,
此時(shí)P
1的坐標(biāo)為(4,0);
當(dāng)OA=OP
2時(shí),△P
2OA為等腰三角形,
∵A(2,4),
∴OA=2
,
此時(shí)P
2的坐標(biāo)為(2
,0);
當(dāng)AP
3=OP
3時(shí),△P
3OA為等腰三角形,
此時(shí)P
3為OA垂直平分線與x軸的交點(diǎn),
取OA的中點(diǎn)為M,作MN⊥x軸,
∵O(0,0),A(2,4),
∴M(1,2),
∴MN=2,ON=1,
∵∠OMN+∠NMP
3=90°,∠MON+∠OMN=90°,
∴∠NMP
3=∠MON,又∠MNO=∠MNP
3=90°,
∴△MON∽△P
3MN,
∴MN
2=ON•NP
3,即4=1•NP
3,
可得NP
3=4,則OP
3=ON+NP
3=1+4=5,
此時(shí)P
3的坐標(biāo)為(5,0).
綜上,滿足題意的坐標(biāo)為P
1(4,0);P
2(2
,0);P
3(5,0).