Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上一點，作AB⊥x軸于B點，AC⊥y軸于C點，得正方形OBAC的面積為16．

（1）求A點的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；

（2）點P（m，

16

3

）是第一象限內(nèi)雙曲線上一點，請問：是否存在一條過P點的直線l與y軸正半軸交于D點，使得BD⊥PC？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由；

（3）連BC，將直線BC沿x軸平移，交y軸正半軸于D，交x軸正半軸于E點（如圖所示），DQ⊥y軸交雙曲線于Q點，QF⊥x軸于F點，交DE于H，M是EH的中點，連接QM、OM．下列結(jié)論：①Q(mào)M+OM的值不變；②

QM

OM

的值不變．可以證明，其中有且只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的面積公式可以確定正方形的邊長，也可以知道A的坐標(biāo)，代入y=

k

x

就可以求出解析式了；
（2）首先根據(jù)（1）的解析式確定P的坐標(biāo)，設(shè)存在點D，延長PC交x軸于E點，然后利用正方形的性質(zhì)和已知條件可以證明△COE≌△BOD，這樣可以得到OE=OD，而直線PC的解析式可以求出，也可以求出OE的長，就求出OD的長，也求出了D的坐標(biāo)，這樣再用待定系數(shù)法就可以求出直線BD的解析式了．
（3）因為DE∥BC，所以O(shè)E=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜邊中點，可以得到EM=HM=FM，還有∠OEH=∠QFM=45°，這樣可以證明△QMF≌△OME，最后得到QM=OM，所以②是正確的．

解答：解：（1）∵正方形OBAC的面積為16，
∴A（4，4）；（2分）
將A點代入反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）中，得反比例函數(shù)的解析式：y=

16

x

；（5分）

（2）將y=

16

3

代入y=

16

x

得：P(3，

16

3

)；
設(shè)存在點D，延長PC交x軸于E點；
∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，
∴∠CEO=∠ODB；
而OC=OB，
∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；
而C（0，4），P(3，

16

3

)，
∴直線CP的解析式為y=

4

9

x+4；
當(dāng)y=0時，x=-9，
∴E（-9，0），
故D（0，9），
∴直線l的解析式為：y=-

11

9

x+9

（3）選②，值為1．
連FM，
∵DE∥BC，
∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜邊中點，
∴EM=HM=FM；
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME；
∴QM=OM；
∴

QM

OM

=1．

點評：此題比較難，綜合性很強，把全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，還有平移的知識都結(jié)合起來，綜合利用它們解題．