Question

如圖，梯形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，上底AD平行于x軸，下底BC交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)C（4，-2），點(diǎn)D（1，2），BC=9，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1，-1），動(dòng)點(diǎn)G從B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著BC邊向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)G可以與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合），求△HGE的面積S（S≠0）隨動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′秒變化的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t′的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t′=

7

2

秒時(shí)，點(diǎn)G停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)直線GH與y軸交于點(diǎn)N．另一動(dòng)點(diǎn)P開始從B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著梯形的各邊運(yùn)動(dòng)一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（點(diǎn)P可以與梯形的各頂點(diǎn)重合）．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)M為直線HE上任意一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)H重合），在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出所有能使∠PHM與∠HNE相等的t的值．

Answer 1

（1）如圖1，過A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=

4

5

，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵

-5k+b=-2 -2k+b=2

，∴

k= 4 3 b= 14 3

，
∴直線AB的解析式為y=

4

3

x+

14

3

．

（2）如圖1，由題意：
情況一：G在線段BE上且不與點(diǎn)E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×1×

1

2

=

5

2

-

1

2

t′；
情況二：G在線段CE上且不與點(diǎn)E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×1×

1

2

=

1

2

t′-

5

2

；
情況一中的自變量的取值范圍：0≤t′＜5，
情況二中的自變量的取值范圍：5＜t′≤9．

（3）如圖2，
當(dāng)t′=

7

2

秒時(shí)，GE=5-

7

2

=

3

2

∴G（-

3

2

，-2），直線GH解析式為y=2x+1．
∴N（0，1）．
當(dāng)點(diǎn)M在射線HE上時(shí)，有兩種情況：
情況一：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至P₁時(shí)，∠P₁HM=∠HNE．
過點(diǎn)P₁作平行于y軸的直線，交直線HE于點(diǎn)Q₁，交BC于點(diǎn)R．
由BP₁=t，sin∠ABC=

4

5

，可得BR=

3

5

t1，P₁R=

4

5

t1，
∴RE=Q₁R=5-

3

5

t1，
∴P₁Q₁=5-

7

5

t1．
∴Q₁H=

2

(4-

3

5

t1)．
由△P₁Q₁H∽△HEN得

P1Q1

Q1H

=

HE

EN

，
∴t₁=

7

3

．
∴當(dāng)t₁=

7

3

時(shí)，∠P₁HM=∠HNE；
情況二：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₂時(shí)，
設(shè)直線P₂H與x軸交于點(diǎn)T，直線HE與x交于點(diǎn)Q₂．
此時(shí)，△Q₂TH∽△EHN
∴

Q2T

Q2H

=

EH

EN

解得Q2T=

2

3

∴T(-

4

3

，0)．
∴直線HT的解析式為y=-3x-4，此時(shí)直線HT恰好經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2）．
∴點(diǎn)P₂與點(diǎn)A重合，即BP₂=5，
∴t₂=5．
∴當(dāng)t₂=5秒時(shí)，∠P₂HM=∠HNE；
若點(diǎn)M在射線HE上時(shí)（點(diǎn)M記為點(diǎn)M₁），有兩種情況：
情況三：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P₃時(shí)，∠P₃HM₁=∠HNE．
過點(diǎn)P₃作平行于y軸的直線P₃Q₃，交直線HE于點(diǎn)Q₃，可用求點(diǎn)P₁同樣的方法．
∴t₃=15．
∴當(dāng)t₃=15秒時(shí)，∠P₃HM₁=∠HNE；
情況四：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至P₄時(shí)，∠P₄HM₁=∠HNE．
可得△P₄HE≌△THQ₂，∴P₄E=TQ₂=

2

3

．∴t₄=17

2

3

∴當(dāng)t₄=17

2

3

秒時(shí)，∠P₄HM₂=∠HNE．
綜上所述：當(dāng)t=

7

3

秒或t=5秒或t=15秒或t=17

2

3

秒時(shí)，∠PHM=∠HNE．