Question

1．寫出圖中3個三角形的面積S₁、S₂、S₃之間的關系，并給出證明．

Answer 1

分析 設三個半圓的直徑分別為：d₁、d₂、d₃，半圓的面積=$\frac{1}{2}$π×（$\frac{直徑}{2}$）²，將d₁、d₂、d₃代入分別求出S₁、S₂、S₃，由勾股定理可得：d₁²+d₂²=d₃²，觀察三者的關系即可，進而利用正方形以及等邊三角形的性質分別求出各部分面積得出答案．

解答 解：如圖①：設三個半圓的直徑分別為：d₁、d₂、d₃，
S₁=${\;}^{\frac{1}{2}}$×π×（$\frac{9htdldz_{1}}{2}$）²=$\frac{71r3x9p_{1}^{2}}{8}$π，
S₂=$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{pz75b3r_{2}}{2}$）²=$\frac{xjnhjn7_{2}^{2}}{8}$π，
S₃=$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{tjpnb1r_{3}}{2}$）²=$\frac{173bjvr_{3}^{2}}{8}$π．
由勾股定理可得：
d₁²=d₂²+d₃²，
∴S₃+S₂=$\frac{π}{8}$（d₃²+d₂²）=$\frac{nzrz151_{1}^{2}}{8}$π=S₁，
所以，S₁、S₂、S₃的關系是：S₃+S₂=S₁．
如圖②：設AC=b，BC=a，AB=c，
則S₂=a²，S₃=b²，S₁=c²，
又∵a²+b²=c²，
∴S₁、S₂、S₃的關系是：S₃+S₂=S₁．

如圖③：設AC=b，BC=a，AB=c，
則S₂=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S₃=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
S₁=$\frac{1}{2}$×c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
又∵a²+b²=c²，
∴S₁、S₂、S₃的關系是：S₃+S₂=S₁．

點評 本題主要考查了運用勾股定理結合圖形求面積之間的關系，關鍵在于根據(jù)題意找出直角三角形，運用勾股定理求出三個半圓的直徑之間的關系．