Question

如圖，平面直角坐標系中，Rt△ABC，∠C=90°，∠CAB=45°，點C（-4，2），先將△ABC向右平移m個單位到△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁與△ABC關(guān)于y軸對稱；繞點B₁順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₂B₁C₂．
（1）請在圖中畫出△A₁B₁C₁和△A₂B₁C₂．
（2）填空：m=

 

．點C₁（

 

，

 

），點C₂（

 

，

 

）
（3）經(jīng)過這兩次圖形變換，請你求出點C經(jīng)過的路徑長．（用π表示）

Answer 1

考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換,弧長的計算,作圖-軸對稱變換,作圖-平移變換

專題：作圖題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用點C的坐標求出點A、B的坐標，再根據(jù)對稱性確定出點A₁、B₁、C₁的坐標，然后順次連接即可得解，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)確定出A₁、C₁繞點B₁順時針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點A₂、C₂的位置，然后順次連接即可得解；
（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同求出一對對應(yīng)點之間的距離就是m的值，根據(jù)點C到AB的距離等于點C的縱坐標，以及對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小求解即可；
（3）分平移變換點C到C₁的距離等于m的值，旋轉(zhuǎn)變換點C₁、C₂，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC的長度，然后利用弧長公式列式進行計算即可求解，然后兩者相加即可．

解答：解：（1）∵Rt△ABC，∠C=90°，∠CAB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點C（-4，2），
∴AB=2×2=4，
∴點A、B的坐標分別為A（-6，0），B（-2，0），
∵△A₁B₁C₁與△ABC關(guān)于y軸對稱，
∴A₁（2，0），B₁（6，0），C₁（4，2），
如圖所示，△A₁B₁C₁即為所求作的三角形；
點A₂、C₂的坐標分別為A₂（6，4），C₂（8，2），
如圖所示，△A₂B₁C₂即為所求作的三角形；

（2）∵B（-2，0）、B₁（6，0），
∴BB₁=6-（-2）=6+2=8，
∴m=8，
故答案為：8；4，2；8，2；

（3）①點C到C₁的平移距離為m=8，
②在RtABC中，BC=

2

2

AB=2

2

，
點C₁到C₂經(jīng)過的路徑長為

90•π• 2 2

180

=

2

π，
故兩次圖形變換點C經(jīng)過的路徑長為8+

2

π．

點評：本題考查了利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，弧長的計算，根據(jù)平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出對應(yīng)點的坐標并準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．