Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是線段AC上的一個動點．

（1）當點P運動到∠ABC的平分線上時，連結(jié)DP，求DP的長；
（2）當點P在運動過程中出現(xiàn)PD＝BC時，∠PDA=                  ；
（3）當PC=   時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上，此時□DPBQ的面積= ．

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，
∴BC＝，AC＝3．
（1）  如圖，作DF⊥AC，垂足為F，

∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，
∴DP＝＝．
（2）15°或75°
（3），

（1）作DF⊥AC，由AB的長求得BC、AC的長．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長．則由勾股定理即可求得DP的長．
（2）由（1）得BC與DF的關(guān)系，則DP與DF的關(guān)系也已知，先求得∠PDF的度數(shù)，則∠PDA的度數(shù)也可求出，需注意有兩種情況．
（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點，作出平行四邊形，求得面積．