Question

 如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．

已知△ABC中，∠A＜∠B＜∠C

（1）利用直尺和圓規(guī)，在圖②中作出△ABC的自相似點(diǎn)P（不寫作法，但需保留作圖痕跡）；

（2）若△ABC的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

(1)①作圖

作法如下：（i）在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點(diǎn)P．

則P為△ABC的自相似點(diǎn)．  

②連接PB,PC．∵P為△ABC的內(nèi)心，∴，．

P為△ABC的自相似點(diǎn)，由條件可知，只能是△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠BAC，

∠ACB＝2∠BCP=4∠BAC．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠BAC+2∠BAC+4∠BAC＝180°,∴．

∴該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，，．

【解析】（1）根據(jù)題中的信息，做出△ABC的自相似點(diǎn)P；

（2）由自相似點(diǎn)的含義可知△BCP∽△ABC，得出各角之間的關(guān)系。