Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O
切線，交OD的延長線于點E，連結BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）連結AD并延長交BE于點F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的長．

Answer 1

（1）BE是⊙O的切線，（2）BF=.

試題分析：
解：（1）連結CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共，
∴△OCE≌△OBE（SAS ）
∴∠OCE＝∠OBE，
又CE是切線，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE與⊙O相切
（2）

備用圖中，作DH⊥OB于H，H為垂足，
∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝，∴OD＝4，
同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，OH＝ 
又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH，
∴FB＝
（其他方法同樣給分）
點評：熟知以上定義性質，根據已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。