Question

（2011•遼陽）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=

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CD，E為CD的中點(diǎn)．
（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段DE上時(shí)，以AM為腰作等腰直角三角形AMN，判斷NE與MB的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；
（2）如圖（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段EC上時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）NE=MB且NE⊥MB，可以利用測(cè)量的方法得到結(jié)論；
（2）首先證明四邊形ABCE為正方形，進(jìn)而可以證得△NAE≌△MAB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得：NE=MB；延長(zhǎng)NE、BM交于點(diǎn)F．證明∴∠EFB=∠C=90°即可證得：NE⊥MB．

解答：解：（1）NE=MB且NE⊥MB．

（2）成立．（3分）
理由：連接AE．

∵E為CD中點(diǎn)，AB=BC=

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CD，
∴AB=EC．
又　AB∥CD，
即　AB∥CE．
∴四邊形ABCE為平行四邊形．
∵∠C=90°，
∴四邊形ABCE為矩形．
又　AB=BC，
∴四邊形ABCE為正方形．
∴AE=AB．
∵等腰直角三角形AMN中，
∴AN=AM，∠NAM=90°．
∴∠1+∠2=90°．
又∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△NAE≌△MAB．
∴NE=MB．
延長(zhǎng)NE、BM交于點(diǎn)F．
由△NAE≌△MAB可得，
∠AEN=∠ABM．
∴∠4=∠6．
∵∠5=∠6，
∴∠4=∠5．
又∠EMF=∠BMC，
∴∠EFB=∠C=90°．
∴BM⊥NE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的判定與性質(zhì)，正確證得四邊形ABCE為平行四邊形是關(guān)鍵．