Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點(diǎn)的一條拋
物線．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、0、P為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似但不全等？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，S點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），ST為以Q為圓心，QA為半徑的⊙Q的切線，T為切點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在直線CD上移動(dòng)時(shí)，切線ST的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用交點(diǎn)式將A（1，0），B（3，0），E（0，6）代入求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)（1）中所求得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△OAP與△ACD相似且不全等時(shí)，則

OP

OA

=

CD

DA

=2或

OP

OA

=

DA

CD

=

1

2

，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先得出點(diǎn)Q為直線x=2上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，q），則QA=

(2-1)2+q2

=

1+q2

，QS=

(2+1)2+q2

=

9+q2

，得出ST的值即可．

解答：（1）解：由題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-1）（x-3），
又拋物線過(guò)點(diǎn)E（0，6）
∴6=a×（-1）×（-3）
解得：a=2，
故所求二次函數(shù)的解析式為：y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；

（2）解：由y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
可知頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
CD=2，AD=1 則

CD

DA

=2，
設(shè)在y軸上存在點(diǎn)P（0，y），
若△OAP與△ACD相似且不全等，
則

OP

OA

=

CD

DA

=2或

OP

OA

=

DA

CD

=

1

2

，
當(dāng)OP=2OA時(shí)，△OAP≌△DAC，不合題意，
當(dāng)OP=

1

2

OA時(shí)，即OP=

1

2

時(shí)，△OAP與△DCA相似，
OP=|y|，
∴|y|=

1

2

，
解得：y=±

1

2

，
∴符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)：P₁（0，

1

2

），P₂（0，-

1

2

）；
              
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在直線CD上移動(dòng)時(shí)，切線ST的長(zhǎng)不發(fā)生變化；
理由：連接QS，QT．
∵拋物線的對(duì)稱軸CD為直線x=2，
點(diǎn)Q為直線x=2上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，q）
∴QA=

(2-1)2+q2

=

1+q2

，
QS=

(2+1)2+q2

=

9+q2

，
T為直線ST與⊙Q的切點(diǎn)，∴QT=QA=

1+q2

，
Rt△STQ中，ST²=SQ²-TQ²=（9+q²）-（1+q²）=8，
∴ST=

8

=2

2

（常數(shù)）
∴點(diǎn)Q在直線CD上移動(dòng)時(shí)，切線ST的長(zhǎng)為常數(shù)2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，注意分類討論得出不要漏解．