Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F．
（1）如圖1，觀察旋轉(zhuǎn)過程，猜想線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不需證明）；
（3）如圖3，若將“AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值．

Answer 1

（1）結(jié)論：AF=BE．
證明：連接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．
∴∠3+∠5=90°．
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5=∠4，
∵BD=AD，
∴△BDE≌△ADF．
∴BE=AF．

（2）根據(jù)（1）可得BE=AF，
所以AB-BE=AC-AF，
即AE=FC，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=AF²+AE²，
∴EF²=BE²+FC²．

（3）（1）中的結(jié)論BE=AF不成立
∵∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=90°，
∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°
∴∠B=∠2，∠5=∠4．
∴△BDE∽△ADF．
∴．
分析：（1）作輔助線：連接AD，利用等腰三角形中的三線合一，即可證得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，證得∠5=∠4，則可得△BDE≌△ADF，則AF=BE；
（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF²=BE²+FC²；
（3）可證得有兩角對(duì)應(yīng)相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函數(shù)即可求得比值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．此題圖形變化很多，而且圖形復(fù)雜，屬于中等難度的題目，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．