Question

如圖，有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20m，如果水位上升3m時(shí)，水面CD的寬是10m．
（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；
（2）現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過(guò)此橋開(kāi)往乙地，已知甲地距此橋280km（橋長(zhǎng)忽略不計(jì)）．貨車正以每小時(shí)40km的速度開(kāi)往乙地，當(dāng)行駛1小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通知：前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)O時(shí)，禁止車輛通行），試問(wèn)：如果貨車按原來(lái)速度行駛，能否安全通過(guò)此橋？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，要使貨車安全通過(guò)此橋，速度應(yīng)超過(guò)每小時(shí)多少千米？

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的位置，設(shè)拋物線的解析式為y=ax²，設(shè)D、B的坐標(biāo)求解析式；

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²（a不等于0），橋拱最高點(diǎn)O到水面CD的距離為h米．
則D（5，-h），B（10，-h-3）
∴

25a=-h 100a=-h-3

解得

a=- 1 25 h=1

∴拋物線的解析式為y=-

1

25

x²

（2）水位由CD處漲到點(diǎn)O的時(shí)間為：1÷0.25=4（小時(shí)）
貨車按原來(lái)速度行駛的路程為：40×1+40×4=200＜280
∴貨車按原來(lái)速度行駛不能安全通過(guò)此橋．
設(shè)貨車速度提高到x千米/時(shí)
當(dāng)4x+40×1=280時(shí)，x=60
∴要使貨車安全通過(guò)此橋，貨車的速度應(yīng)超過(guò)60千米/時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．