Question

在四邊形中，，且．取的中點(diǎn)，連結(jié)．

（1）試判斷三角形的形狀；

（2）在線段上，是否存在點(diǎn)，使．若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）等腰直角三角形（2）存在，當(dāng)時(shí)，有一點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，有兩點(diǎn)，

【解析】解：（1）在四邊形中，，，

四邊形為直角梯形（或矩形）．

過點(diǎn)作，垂足為，，

又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

又，

，

與是全等的等腰直角三角形，

，

是等腰直角三角形．

（2）存在點(diǎn)使．

以為直徑，為圓心作圓．

當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，，

圓與相切于點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，存在點(diǎn)，使得，

此時(shí)．

當(dāng)時(shí)，四邊形為直角梯形，

，，圓心到的距離小于圓的半徑，圓與相交，上存在兩點(diǎn)，使，

過點(diǎn)作，在中，，

連結(jié)，則，

在直角三角形中，，

．

同理可得：．

綜上所述，在線段上存在點(diǎn)，使．

當(dāng)時(shí)，有一點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，有兩點(diǎn)，．

根據(jù)已知條件，得到四邊形ABCD為直角梯形或矩形．

（1）過點(diǎn)P作PQ⊥BC，易證PQ=BQ=QC，則△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．

（2）判斷在線段BC上，是否存在點(diǎn)M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性質(zhì)與判定得出即可．