Question

在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌）．這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)．當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角（360°）時(shí)，就拼成了一個(gè)平面圖形．
（1）請(qǐng)根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：

正多邊形邊數(shù)	3	4	5	6	…	n
正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)					…

（2）如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？
（3）從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請(qǐng)畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）利用正多邊形一個(gè)內(nèi)角=（180-

360

n

）°求解；
（2）進(jìn)行平面鑲嵌就是在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為360°，因此我們只需驗(yàn)證360°是不是上面所給的幾個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍；
（3）常見的兩種正多邊形的密鋪組合有：正三角形和正四邊形能密鋪，正六邊形只能和正三角形密鋪．所以要從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，只能選擇正四邊形．

解答：解：（1）由正n邊形的內(nèi)角的性質(zhì)可分別求得正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、…、正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：
60°，90°，108°，120°，…180-

360

n

；

（2）如限于用一種正多邊形鑲嵌，則由一頂點(diǎn)的周圍角的和等于360°得正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形都能鑲嵌成一個(gè)平面圖形；

（3）如：正方形和正八邊形（如圖），
設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正方形的角，n個(gè)正八邊形的角，
那么m，n應(yīng)是方程m•90°+n•135°=360°的正整數(shù)解．
即2m+3n=8的正整數(shù)解，只有m=1，n=2一組，
∴符合條件的圖形只有一種．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求正多邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)，可先求出這個(gè)外角度數(shù)，讓180減去即可．一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360°；兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．