Question

如圖，直線y=

3

3

x+1分別與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點，點C從A點出發(fā)沿射線BA方向移動，速度為每秒1個單位長度．以C為頂點作等邊△CDE，其中點D和點E都在x軸上．半徑為3

3

-3的⊙M與x軸、直線AB相切于點G、F．
（1）直線AB與x軸所夾的角∠ABO=

30°

°；
（2）求當(dāng)點C移動多少秒時，等邊△CDE的邊CE與⊙M相切？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出OA、OB的長度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度數(shù)．
（2）設(shè)點C移動t秒后與⊙M相切，分兩種情況討論，①當(dāng)CE在⊙M左側(cè)相切于點H；②當(dāng)CE在⊙M右側(cè)相切于點H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）直線AB的解析式為y=

3

3

x+1，
令x=0，則y=1，令y=0，則x=-

3

，
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

1

3

=

3

3

，
∴∠ABO=30°；

（2）設(shè)點C移動t秒后與⊙M相切，
①當(dāng)CE在⊙M左側(cè)相切于點H，
連接MF、MG、MH，
∵AB、CE、BO均為⊙M的切線，
∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO，
∵∠ABO=30°，△CDE是等邊三角形，
∴∠BCE=90°，
∴四邊形CHMF為矩形，
∵M(jìn)F=MH，
∴四邊形CHMF為正方形，
∴CH=MH=3

3

-3，
∵EH、EG為⊙M的切線，∠CED=60°，
∴∠HEM=60°，
∴HE=

1

3

MH=3-

3

，
∵CE=

1

3

BC=

1

3

（2+t），
∴

1

3

（2+t）=3

3

-3+3-

3

，
∴t=4；
②當(dāng)CE在⊙M右側(cè)相切于點H，
由①證得：CH=MH=3

3

-3，
∵∠HEM=30°，
∴HE=

3

MH=9-3

3

，
∴

1

3

（2+t）=3

3

-3+9-3

3

，
∴t=6

3

-2．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的綜合運用，難度較大．