Question

已知如圖，點(diǎn)A（m，3）與點(diǎn)B（n，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若過(guò)B，D的直線與x軸交于點(diǎn)C，求sin∠DCO的值．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A（m，3）與點(diǎn)B（n，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱特點(diǎn)，易求m、n，從而用待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的解析式；
（2）由點(diǎn)B、D坐標(biāo)能求直線BD解析式，進(jìn)而易求點(diǎn)C坐標(biāo)；根據(jù)坐標(biāo)意義，可求OC、OD、CD長(zhǎng)度，運(yùn)用三角函數(shù)定義就能解出sin∠DCO的值．

解答：解：（1）∵A（m，3）與B（n，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴m=2，n=3，
即A（2，3），B（3，2）．
于是由3=

k

2

，
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

；

（2）設(shè)直線的解析式為y=kx+b，
將B（3，2），D（0，-2）代入得：

2=3k+b -2=0•k+b

，
解得：

k= 4 3 b=-2

，
故直線BD的解析式為y=

4

3

x-2，
∴當(dāng)y=0時(shí)，
∴x=1.5．
即C（1.5，0），
于是OC=1.5，DO=2，
在Rt△OCD中，DC=

1.52+22

=2.5，
∴sin∠DCO=

DO

DC

=

2

2.5

=

4

5

．
說(shuō)明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，則BE=3，DE=4，從而BD=5，sin∠DCO=sin∠DBE=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)定義，也考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式．