Question

已知，如圖，BC是以線段AB為直徑的⊙O的切線，AC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作弦DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F，連接BD、BE．．
（1）仔細(xì)觀察圖形并寫出四個(gè)不同類型的正確結(jié)論：①

 

，②

 

，
③

 

，④

 

（不添加其它字母和輔助線，不必證明）；
（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為2，求△BDE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）由BC是以線段AB為直徑的⊙O的切線，可得AD⊥BD，AB⊥BC，繼而由DE⊥AB，可得DE∥BC，由垂徑定理，易得BD=BE，

BD

=

BE

等；
（2）由AB為直徑，∠A=30°，⊙O的半徑為2，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，易求得BD的長(zhǎng)，繼而由垂徑定理與勾股定理即可求得答案．

解答：解：（1）①AD⊥BD，（BC⊥AB），（∠ADB=∠ABC=90°）；②DE∥BC；③∠BDE=∠E=∠A=∠CBD；④BD=BE，DF=EF，⑤△BFD≌△BFE；⑥

AD

=

AE

，

BD

=

BE

，⑦S_△DBF=S_△EBF 等．
故答案為：①AD⊥BD，②DE∥BC，③BD=BE，④

BD

=

BE

；

（2）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵⊙O的半徑為2，
∴AB=4，
∵∠A=30°，
∴BD=

1

2

AB=2AD=

AB2-BD2

=

42-22

=2

3

，
∵AB⊥DE，
DF=EF=

1

2

DE，
在Rt△ADF中，∠A=30°，
∴DF=

1

2

AD=

3

DE=2

3

AF=

AD2-DF2

=

(2 3 )2-( 3

)2=3，BF=AB-AF=4-3=1，
∴S△BDE=

1

2

DE•BF=

1

2

×2

3

×1=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．