Question

如圖1，在平面直角坐標系xoy中，M是x軸正半軸上一點，⊙M與x軸的正半軸交于A，B兩點，A在B的左側，且OA，OB的長是方程x²-12x+27=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑的長．
（2）如圖2，將△ONM沿ON翻轉180°至△ONG，求證△OMG是等邊三角形．
（3）求直線ON的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先解一元二次方程的得出OA，OB的長，進而得出OM的長；
（2）利用翻折變換的性質得出MN=GN=3，OG=OM=6，進而得出答案；
（3）首先求出CM的長，進而得出CN的長，即可得出OC的長，求出N點坐標，即可得出ON的解析式．

解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，
（x-9）（x-3）=0，
解得：x₁=9，x₂=3，
∵A在B的左側，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=OB-OA=6，
∴OM的直徑為6；

（2）由已知得：MN=GN=3，OG=OM=6，
∴OM=OG=MN=6，
∴△OMG是等邊三角形．

（3）如圖2，過N作NC⊥OM，垂足為C，
連結MN，則MN⊥ON，
∵△OMG是等邊三角形．
∴∠CMN=60°，∠CNM=30°，
∴CM=

1

2

MN=

1

2

×3=

3

2

，
在Rt△CMN中，
CN=

MN2-CM2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴OC=OM-CM=6-

3

2

=

9

2

，
∴N的坐標為(

9

2

，-

3 3

2

)，
設直線ON的解析式為y=kx，
∴-

3 3

2

=

9

2

x，
∴k=-

3

3

，
∴直線ON的解析式為y=-

3

3

x．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及勾股定理和等邊三角形的性質等知識，根據已知得出N點坐標是解題關鍵．