Question

直角三角形AOB在平面直角坐標系中如圖所示，O與坐標原點重合，點A在x軸上，點B在y軸上，OB=2

3

，∠BAO=30°，將△AOB沿直線BE折疊，使得OB邊落在AB上，點O與點D重合．
（1）求直線BE的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）點P是x軸上的動點，使△PAB是等腰三角形，直接寫出P點的坐標；
（4）點M是直線BE上的動點，過M點作AB的平行線交y軸于點N，是否存在這樣的點M，使得以點M、N、D、B為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出所有M點的坐標；如果不存在說明理由．

Answer 1

分析：先利用直角三角形的性質（直角三角形中，如果有一個角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．）和勾股定理求出點的坐標E（-2，0），進一步用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=

3

x+2

3

．

解答：解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折疊O．D重合
∴∠EBO=30°，
OE=

1

2

BE，
設OE=x，
則（2x）²=x²+(2

3)

2，
∴x=2，
即 BE=4，
E（-2，0），
設Y=kx+b代入得；

0=-2k+b 2 3 =b

解得

k= 3 b=2 3

，
∴直線BE的解析式是：y=

3

x+2

3

，

（2）過D作DG⊥OA于G，
∵沿BE折疊O、D重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=

3

，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐標是：D(-3，

3

)；

（3）P₁（-2，0）；P₂（6，0）；P3(4

3

-6，0)；P4(-6-4

3

，0)；

（4）存在，
過D作DM₁⊥y軸交BE于M，過M₁作AB平行線交y軸于N₁，
則M₁的橫坐標是x=-3，代入直線BE的解析式得：
y=-

3

，
∴M₁（-3，-

3

），
②過D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，
∵D的橫坐標是-3，
∴M₂的橫坐標是3，
∵M₁的坐標是（-3，-

3

），D（-3，

3

），
∴DM₁=

3

+

3

=2

3

=NB，
∵BO=2

3

，
∴M₂的縱坐標是2

3

+2

3

+

3

=5

3

，
∴M₂（3，5

3

），
∴M點的坐標是：（-3，-

3

）和（3，5

3

）．

點評：解此題的關鍵是用兩點坐標用待定系數(shù)法求出解析式，再利用平行線間的距離處處相等求出點的橫坐標．利用直角三角形的性質和勾股定理用方程求出點的縱坐標，注意一題多解．