Question

（2013•吳中區(qū)一模）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（6，0），（0，2），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線經(jīng)過點(diǎn)A，B，C時(shí)，b的值；然后分別從若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即2＜b≤3時(shí)與若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即3＜b＜5時(shí)分析求解，即可求得S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（2）首先設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．易得四邊形DNEM為菱形，又由tan∠DEN=

1

2

，DH=2，設(shè)菱形DNEM的邊長為a，由勾股定理知：a²=（4-a）²+2²，可求得a的值，繼而求得重疊部分的面積．

解答：解：（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）時(shí)，則b=3，
若直線經(jīng)過點(diǎn)B（6，2）時(shí)，則b=5，
若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）時(shí)，則b=2，
①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即2＜b≤3時(shí)，
如圖1，此時(shí)E（2b，0），
∴S=

1

2

OE•OC=

1

2

×2b×2=2b；
②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即3＜b＜5時(shí)，
如圖1，此時(shí)E（6，b-3），D（2b-4，2），
∴CD=2b-4，BD=6-CD=10-2b，AE=b-3，BE=AB-AE=5-b，
∴S=S_矩形OABC-S_△OCD-S_△DBE-S_△OAE=6×2-

1

2

×2×（2b-4）-

1

2

×（10-2b）×（5-b）-

1

2

×6×（b-3）=5b-b²，
∴S與b的函數(shù)關(guān)系式為：S=

2b    (2＜b≤3) 5b-b2(3＜b＜5)

；

（2）如圖3，設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形，
根據(jù)軸對稱知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，
由題易知，tan∠DEN=

1

2

，DH=2，
∴HE=4，
設(shè)菱形DNEM的邊長為a，由勾股定理知：a²=（4-a）²+2²，
∴a=

5

2

，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=5，
∴四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積始終為5．

點(diǎn)評：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、利用的判定與性質(zhì)、三角形的面積以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．