Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點，OD=OB，AC=AB，過點C作CE⊥OA于點E，點M從點C出發(fā)，沿CD方向運動，過點M作MN⊥OA于點N，過點N作NP∥AB，交OB于點P，當(dāng)點N與點O重合時點M停止運動．設(shè)AN=a．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）用含a的代數(shù)式表示NP；
（3）是否存在點M，使△MNP為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出一次函數(shù)y=x+8的圖象與x軸，y軸的交點A、B的坐標(biāo)，得到OA=6，OB=8，由勾股定理求出AB=10，再由已知條件得出CE=OD=2，AC=，運用勾股定理求出AE，進而得到點C的坐標(biāo)；
（2）先由OD=OB，AC=AB，證明NP∥AB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，即可用含a的代數(shù)式表示NP；
（3）因為由已知條件得出a=4.5時，點P與點D重合，所以分兩種情況討論：①0≤a＜4.5，②4.5＜a＜6，兩種情況都可以先由NP∥AB，得出，則用含a的代數(shù)式表示出OP，求出PD，再由勾股定理表示出PM²，然后根據(jù)腰長相等列出關(guān)于a的方程，解方程檢驗即可．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點，
∴點A的坐標(biāo)為：（6，0），點B的坐標(biāo)為：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∴OD=OB=2，AC=AB=，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四邊形ODCE與四邊形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE==，
∴OE=OA-AE=6-=，
∴點C的坐標(biāo)為：（，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴，
解得：NP=；

（3）存在點M，能夠使△MNP為等腰三角形，理由如下：
過點D作DQ∥AB交OA于Q，則
=，即=，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴當(dāng)a=4.5時，點P與點D重合，此時△MNP不是等腰三角形．
分兩種情況討論：
①當(dāng)0≤a＜4.5，即點P在點D上方時，如右圖．
∵NP∥AB，
∴，
∴，
解得：OP=，
∴PD=OP-OD=，
∴PM²=PD²+DM²=（）²+（6-a）²=．
由于PN＞MN，所以當(dāng)△MNP為等腰三角形時，可能有兩種情況：
當(dāng)PM=MN時，=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合題意，舍去）；
當(dāng)PM=PN時，=（）²，解得a=5.25（不合題意，舍去）；
②當(dāng)4.5＜a＜6，即點P在點D下方時，如右圖．
∵NP∥AB，
∴，
∴，
解得：OP=，
∴PD=OD-OP=，
∴PM²=PD²+DM²=（）²+（6-a）²=．
當(dāng)△MNP為等腰三角形時，可能有三種情況：
當(dāng)PM=MN時，=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合題意，舍去）；
當(dāng)PM=PN時，=（）²，解得a=5.25；
當(dāng)PN=MN時，=2，解得a=4.8．
綜上可知，存在點M，能夠使△MNP為等腰三角形，此時滿足要求的a的值為4.08或4.8或5.25．
點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的求法，勾股定理，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意問題（3）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解，這是解決本題的關(guān)鍵．