Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DAB=15°，C為AB延長線上的一點(diǎn)，且∠DCA=60°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=2

3

，求圖中陰影部分的面積和周長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,圓周角定理,弧長的計算,扇形面積的計算

專題：計算題

分析：（1）連接OD，由AO=OD，利用等邊對等角得到∠DAB=∠ADO，求出∠ADO的度數(shù)，再由∠DOB為三角形AOD的外角，利用外角性質(zhì)得到∠DOB為30°，再由∠DCA為60°，得到∠ODC為直角，即可確定出CD為圓O的切線；
（2）由AB的長求出圓的半徑，陰影部分的面積等于直角三角形OCD的面積減去扇形BOD的面積，求出即可．

解答：解：（1）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠NAD=∠ADO=15°，
∵∠DOB為△AOD的外角，
∴∠DOB=2∠BAD=30°，
∵∠DCO=60°，
∴∠ODC=90°，即DC⊥OD，
則DC是圓O的切線；
（2）在Rt△OCD中，OD=

3

，
設(shè)CD=x，由∠DOC=30°，得到OC=2x，
根據(jù)勾股定理得：x²+（

3

）²=（2x）²，
解得：x=1，
∴CD=1，
則S_陰影=S_△ODC-S_扇形BOD=

1

2

CD•OD-

30πOD2

360

=

3

2

-

π

12

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：等腰三角形的性質(zhì)，外角性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及扇形面積求法，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．